線形代数の問題の解き方がわかりません 線形写像に関する問

線形代数の問題の解き方がわかりません 線形写像に関する問。1m=dim。線形写像に関する問題です
V,Wを?上の有限次元線形空間としf:V→Wを線形写像とする 以下を示せ (1)f:全射??g:W→V;線形写像 s,t f?g=idw
(2)f:単射??g:W→V;線形写像 s,t g?f=idv
(3)一般に?g:W→V;線形写像 s,t f=fgfかつg=gfg
(4)gが(3)の条件を満たす線形写像とすればfはgの像Im(g)からfの像Im(f)への同型写像となる

正直(1)からよくわからないです
fの全射性から?y∈W,?x∈V s,t y=f(x)となりますが単純にgをg(y)=xとなるように定義すればいいだけなのでしょうか 宜しければ全体を通して解説していただけると嬉しいです 宜しくお願い致します 線形代数の問題の解き方がわかりません。線形写像TV→Wに対し。上記基底に対する表現行列をAとする。線形写像の
問題を教えて欲しいです。が複素数体で, , を複素数を成分とする 次
正方行列 全体からなる上の 次元ベクトル空間とし。 が, 成分が, 他は
の行列としたとき。 複素数 を一つとり, 線形写像φ ここで は行列
のトレースのとき , の基底{,,,} に関するφ の表現行列を
求めよV,Wをベクトル空間として。は有限次元であるとする。

1m=dim W, n=dim V とおきます。w_1, ., w_m を W の基底とします。f は全射 なのでw_1=fv_1, ., w_m=fv_m を満たす v_1, ., v_m∈V が存在します。ここで、線形写像 g:W → V をgw_1=v_1, ., gw_m=v_mにより定めます。このとき、任意の w∈W に対してw=a_1w_1+.+a_mw_ma_1, ., a_m∈Cと表されるのでfgw=fga_1w_1+.+a_mw_m=fa_1v_1+.+a_mv_m=a_1w_1+.+a_mw_m=wよって、fg=idwしたがって、fg=idw を満たす線形写像 g:W→V が存在します。2m=dim W, n=dim V とおきます。v_1, ., v_n を V の基底とします。w_1=fv_1, ., w_n=fv_n とおくとf は単射だから、w_1, ., w_n は線形独立なのでw_1, ., w_n, w_n+1, ., w_m が W の基底となる w_n+1, ., w_m∈W が存在します。ここで、線形写像 g:W → V をgw_1=v_1, ., gw_n=v_n, gw_n+1=.=gw_m=0により定めます。このとき、任意の v∈V に対してv=a_1v_1+.+a_nv_na_1, ., a_n∈Cと表されるのでgfv=gfa_1v_1+.+a_nv_n=ga_1w_1+.+a_nw_n=a_1v_1+.+a_nv_n=vよって、gf=idvしたがって、gf=idv を満たす線形写像 g:W→V が存在します。3m=dim W, n=dim V とおきs=dim Imf, t=dim Kerf とおくと次元定理により、s+t=n が成り立ちます。 w_1, ., w_s を Imf の基底としw_1=fv_1, ., w_s=fv_sv_1, ., v_s∈Vと表されるものとします。また、v_s+1, ., v_n を Kerf の基底とします。このとき、v_1, ., v_s, v_s+1, ., v_n は V の基底となります。さらに、w_1, ., w_s は線形独立だからw_1, ., w_s, w_s+1, ., w_m が W の基底となる w_s+1, ., w_m∈W が存在します。ここで、線形写像 g:W → V をgw_1=v_1, ., gw_s=v_s, gw_s+1=.=gw_m=0により定めます。このとき、任意の v∈V に対してv=a_1v_1+.+a_nv_na_1, ., a_n∈Cと表されfv_1=w_1, ., fv_s=w_s, fv_s+1=.=fv_n=0 なのでfv=a_1w_1+.+a_sw_s となりfgfv=fga_1w_1+.+a_sw_s=fa_1v_1+.+a_sv_s=a1w_1+.+a_sw_sよって、fv=fgfvしたがって、f=fgfまた、任意の w∈W に対してw=a_1w_1+.+a_mw_ma_1, ., a_m∈Cと表されgv_1=w_1, ., gw_s=v_s, gw_s+1=.=gw_m=0 なのでgw=a_1v_1+.+a_sv_s となりgfgw=gfa_1v_1+.+a_sv_s=ga_1w_1+.+a_1w_s=a_1v_1+.+a_sv_sよって、gfgw=gwしたがって、gfg=gしたがって、f=fgf, g=gfg を満たす線形写像 g:W→V が存在します。4まず、w を Imf の任意の元とします。w=fvv∈Vと表されるのでv'=gw∈Img とおくとf=fgf なのでw=fv=fgfv=fgfv=fgw=fv'よって、f を Img から Imf への線形写像とみなしたとき、この写像は全射となります。また、v, v' ∈Img が fv=fv' を満たすものとするときv=gw, v'=gw'w, w'∈Wと表され、g=gfg なのでv=gw=gfgw=gfv=gfv'=gfgw'=gw'=v'よって、f を Img から Imf への線形写像とみなしたとき、この写像は単射となります。したがって、f を Img から Imf への線形写像とみなすと、この写像は同型写像となります。

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